Գրադիենտային իջեցումը կարող է քեզնից լավ մաթեմատիկա անել
ԱԲ-ի մաթեմատիկական առաջընթացը նոր հնարավորություններ է բացում հետազոտության համար։ Մաթեմատիկան ավելի շատ շահելու, քան վախենալու պատճառ ունի։
Եթե վերջերս հետևել ես արհեստական բանականության նորություններին, հավանաբար տեսել ես OpenAI-ի հայտարարությունը Հազարամյակի խնդիրներից մեկի՝ Նավիե–Ստոքսի հավասարումների լուծումների գոյության և հարթության խնդրի մասին։ Ընկերությունը պնդում է, որ լուծել է այն։ Այս հավասարումները նկարագրում են, թե ինչպես են շարժվում հեղուկները, բայց վաղուց բաց է մնում այն հարցը, թե արդյոք դրանց լուծումների հարթությունը կարող է խախտվել, նույնիսկ երբ շարժումն ի սկզբանե հարթ է։ OpenAI-ն ասում է, որ իր մոդելը՝ ներքին օգտագործման համար նախատեսված և հանրությանը չտրամադրված մի մոդել, կառուցել է դեպք, երբ դա տեղի է ունենում հարթ արտաքին ուժի ազդեցության տակ։ Ընկերությունը հրապարակել է թե՛ գրավոր հիմնավորում, թե՛ դրա ձևականացումը Lean համակարգում։ [1]
Հայտարարությունը լայն քննարկում է առաջացրել մաթեմատիկական հետազոտության վրա ԱԲ-ի ազդեցության մասին։ Ֆիլդսի մեդալի 25 դափնեկիրների ստորագրած հայտարարությունը պնդում է, որ ԱԲ-ի գնահատման թեստերի միջոցով մաթեմատիկական բեկումների ձգտումն աստիճանաբար կտրվում է մաթեմատիկայի նպատակից։ Ինչպես ասվում է նամակում, «խնդիրներ լուծելը միայն գործիք է և անուղղակի չափանիշ՝ հիմնական նպատակին՝ գաղափարների ըմբռնմանն ու խորքային պատկերացմանը հասնելու համար»։ Այն նաև մտահոգություններ է հայտնում աշխատանքի հեղինակության պատշաճ վերագրման, հապճեպ հրապարակումների և ապագա հետազոտողների պատրաստման վերաբերյալ։ [2]
Այստեղ շատ բան կա, որի հետ համաձայն եմ։ Մաթեմատիկայի էությունը այն կառուցվածքներն ու կապերն ըմբռնելն է, որոնց շնորհիվ արդյունքը ճշմարիտ է, իսկ ապացույցը մասամբ արժեքավոր է այն գաղափարների շնորհիվ, որոնք ի հայտ են գալիս դրա ընթացքում։ Սակայն նման արդյունքներ ստանալու ԱԲ-ի աճող կարողությունը ես մաթեմատիկայի համար սպառնալիք չեմ համարում։ Եթե այն կարող է բացահայտել բաներ, որոնք նախկինում մեր հասանելիությունից դուրս էին, մենք հնարավորություն ունենք խորացնելու մեր ըմբռնումը։ Դա ներառում է հետազոտության նոր ուղղություններ գտնելը, եղած աշխատանքներն ավելի լավ օգտագործելը և հենց ԱԲ-ի օգնությամբ մեր բացահայտումները բացատրելը։
Ինչ է բացահայտում ապացույցը
Մտածենք, թե ինչն է մաթեմատիկական ապացույցը հետաքրքիր դարձնում ընթերցողի համար։ Գուցե դեռ չսկսած գիտենք եզրակացությունը, բայց դրա գեղեցկությունը հաճախ տրամաբանական անսպասելի շրջադարձերի և առերևույթ իրար հետ կապ չունեցող գաղափարների միավորման մեջ է։ Հիմնարար սկզբունքներից մինչև եզրակացություն հետևելով դատողություններին՝ հասկանում ենք, թե ինչու է թեորեմը ճշմարիտ։ Ուստի նույն թեորեմի մեկ այլ ապացույցը կարող է արժեքավոր լինել և նոր պատկերացում տալ, նույնիսկ երբ արդյունքն արդեն հաստատված է։
Հայտարարության հեղինակները մտահոգվում են, որ պատասխանների արագ ստացումը կարող է վնասել հետազոտության բեղմնավոր ոլորտներին։ [2] Մեծ բյուջեներ ունեցող և գնահատման թեստերում ավելի բարձր արդյունքների ձգտող ընկերությունները կարող են լուծել խնդիրներ, որոնց շուրջ հետազոտողները կառուցել են իրենց աշխատանքը։ Չեմ կարծում, թե դա համարժեք է հետազոտության մի ոլորտը ամայացնելուն։ Վարկածի լուծումը պարտադիր չէ, որ սպառի դրա շուրջ եղած մաթեմատիկան, իսկ կիրառված մեթոդները կարող են նոր հնարավորություններ ստեղծել։
Դրա օրինակն է Էնդրյու Ուայլսի՝ Ֆերմայի մեծ թեորեմի ապացույցը։ Դրա նշանակությունը շատ ավելին էր, քան հայտնի վարկածի լուծումը։ Հենվելով նախորդ աշխատանքների վրա՝ Ուայլսն ապացուցեց էլիպտական կորերի և մոդուլային ձևերի միջև ենթադրվող կապի կարևոր մի դեպք։ Ռիչարդ Թեյլորի հետ մշակած նրա մեթոդները հնարավոր դարձրին հետագա առաջընթացը, այդ թվում՝ ի վերջո մոդուլյարության ամբողջական թեորեմի ապացուցումը։ [7] Ֆերմայի մեծ թեորեմի լուծումը հետազոտության նոր ուղիներ բացեց այն գաղափարների շնորհիվ, որոնք հնարավոր էին դարձրել այդ լուծումը։
«Վարկածի լուծումը պարտադիր չէ, որ սպառի դրա շուրջ եղած մաթեմատիկան, իսկ կիրառված մեթոդները կարող են նոր հնարավորություններ ստեղծել»։
ԱԲ-ի ստացած ապացույցը պարտադիր չէ, որ համադրելի ուժ ունեցող գաղափարներ ներմուծի։ Բայց չպետք է նաև ենթադրենք, թե ավտոմատացված լուծումից հետո ուսումնասիրելու արժանի ոչինչ չի մնում։ Կարող ենք ուսումնասիրել դրա միջանկյալ արդյունքները, հարցնել, թե որտեղ են կիրառելի դրա մեթոդները, և ավելի պարզ բացատրություն փնտրել։ Հետազոտական արժեքը կախված է նրանից, թե ինչ կարող ենք սովորել ապացույցից, նույնիսկ եթե այն ստացած ընկերության հիմնական հետաքրքրությունը գնահատման թեստն էր։
Հետազոտելու արժանի խնդիրներ գտնելը
Ենթադրենք՝ ԱԲ-ն հակաօրինակ է գտնում մի վարկածի համար, որն ինտուիտիվորեն ճիշտ էր թվում։ Այն պայմանների ուսումնասիրությունը, որոնց դեպքում այդ հակաօրինակն աշխատում է, կարող է բացահայտել բացակայող նախադրույթ, հուշել վարկածի վերանայված տարբերակ կամ կապ ցույց տալ մեկ այլ խնդրի հետ։ ԱԲ-ն կարող է հետազոտողներին ուղղորդել դեպի այս հարցերը, այդ թվում՝ այն ոլորտներում, որոնք քիչ ուշադրության են արժանացել։
Հայտնի խնդիրները կարող են արժեքավոր աշխատանք ներշնչել, ինչպես ցույց է տալիս Ուայլսի օրինակը։ Սակայն դրանց համբավը նաև հետազոտողներին ուղղում է դեպի նույն թիրախները, և ես ենթադրում եմ, որ դա ջանքերի զգալի կրկնության պատճառ է դառնում։ Միայն հայտնի լինելը չի որոշում խնդրի հետազոտական արժեքը։ ԱԲ-ն կարող է օգնել մեզ ավելի լայն ուսումնասիրություններ կատարել և հետազոտելու արժանի հարցեր գտնել՝ նախքան դրանց նման համբավ ձեռք բերելը։
«Միայն հայտնի լինելը չի որոշում խնդրի հետազոտական արժեքը»։
Այն կարող է նաև օգնել խուսափելու արդեն կատարված աշխատանքի կրկնությունից։ Հիշում եմ՝ մաթեմատիկայի իմ գիտական ղեկավարներից մեկը փոքր-ինչ հիասթափված էր, որ իր մշակած և նոր համարած մի քանի թեորեմներ Դեդեկինդն արդեն ապացուցել էր ավելի քան մեկ դար առաջ։ Ինչ-որ բան վերահայտնաբերելը կարող է ուսանելի լինել, բայց սկզբնական աշխատանքի մասին ավելի վաղ իմանալը նրան թույլ կտար դրա վրա հիմնվելով առաջ գնալ։ Տարբեր ոլորտներում, անծանոթ նշանակումների և հրապարակումների սերունդների միջով որոնելը մեծ աշխատանք է։
Արդեն կան վկայություններ, որ ԱԲ-ն կարող է օգնել։ Էրդյոշի խնդիրների տվյալների բազայի 700 բաց խնդիրների ուսումնասիրության ընթացքում Gemini օգտագործող հետազոտողները դրանցից ութի համար գրականության մեջ գտել են արդեն գոյություն ունեցող լուծումներ։ Հեղինակները նաև ընդգծել են այն վտանգը, որ ԱԲ-ն կարող է վերարտադրել նախորդ աշխատանքը՝ չճանաչելով այն։ [3] Նրա գտածոները պետք է ստուգել, բայց խնդիրը անտեսված արդյունքի հետ կապելը կարող է ժամանակ խնայել և նպաստել մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտների գաղափարների փոխանակմանը։
Մաթեմատիկան բացատրելը
Արդյունք գտնելն ու ստուգելը գործընթացի միայն մի մասն են։ Ձևական ապացույցների համակարգերը, օրինակ՝ Lean-ը, հաստատում են, որ ձևականորեն ձևակերպված եզրակացությունը բխում է իր սահմանումներից և նախադրույթներից՝ թույլ տալով ստուգել դատողությունը՝ առանց այն ստեղծած ԱԲ-ի վրա հենվելու։ Մենք դեռ պետք է համոզվենք, որ ձևական պնդումը ներկայացնում է հենց նախատեսված խնդիրը, քանի որ ստացված ապացույցին հետևելը մարդու համար կարող է դժվար լինել։ Ստուգումը մեզ ավելի ամուր հիմք է տալիս արդյունքը հետազոտելու համար, բայց ինքնաբերաբար օգտակար բացատրություն չի տալիս։ [4]
Բայց ինչո՞ւ պետք է ԱԲ-ի ներդրումն այդտեղ ավարտվի։ Ես որևէ սկզբունքային պատճառ չեմ տեսնում, թե ինչու այն չի կարող նաև օգնել մաթեմատիկան բացատրել մարդկանց հասկանալի ձևերով։ Երկար ապացույցի դեպքում կարող ենք խնդրել, որ այն գտնի, թե որտեղ է օգտագործվում որոշակի նախադրույթ, և ուսումնասիրի, թե ինչ կլինի այդ նախադրույթը հանելու դեպքում։ Այն կարող է կառուցել օրինակներ, որոնք անծանոթ սահմանումն ավելի հասկանալի կդարձնեն, կամ ուսումնասիրել ավելի պարզ դատողություն։ Նրա առաջարկները մանրակրկիտ ստուգում կպահանջեն, բայց սրանք ըմբռնումը զարգացնելու կոնկրետ եղանակներ են, իսկ օգտակար բացատրություն տալն ինքնին արժանի նպատակ է ԱԲ-ի հետազոտության համար։
Մենք արդեն ունենք այս կարողության օրինակներ։ 2025 թվականի հուլիսին Gemini Deep Think-ի առաջադեմ տարբերակը Մաթեմատիկական միջազգային օլիմպիադայում հասավ ոսկե մեդալի մակարդակի՝ լուծելով վեց խնդիրներից հինգը։ Դրա ապացույցները գրված էին բնական լեզվով, և օլիմպիադայի նախագահ Գրեգոր Դոլինարը հայտնել էր, որ գնահատողները դրանք համարել են «պարզ, ճշգրիտ և մեծ մասամբ հեշտ հետևելի»։ [5] Այդ հանգրվանը OpenAI-ի՝ Նավիե–Ստոքսի ապացույցից բաժանում է մեկ տարուց քիչ ավելի ժամանակ։ Օլիմպիադային մաթեմատիկան և գիտության առաջնագծում կատարվող հետազոտությունը տարբեր պահանջներ ունեն, բայց առաջընթացի տեմպը քիչ հիմք է տալիս ներկայիս սահմանափակումները մշտական համարելու համար։ Ակնկալում եմ, որ բարդ մաթեմատիկան բացատրելու ԱԲ-ի կարողությունը կբարելավվի ավելի արագ, քան շատերը սպասում են։
Համալսարանների դերը
Նույնիսկ եթե ԱԲ-ն կատարի բացահայտումների մեծ մասը և գերազանց բացատրի արդյունքները, համալսարանները միևնույն է էական դեր կունենան։ Նրանց նպատակներից է օգնել մարդկանց հասկանալ գաղափարները, կիրառել դրանք և ձևակերպել սեփական հարցերը։ Մենք շարունակում ենք թեորեմներ դասավանդել դրանց ապացույցները հայտնի դառնալուց շատ անց, քանի որ յուրաքանչյուր ուսանող դեռ պետք է ինքնուրույն հասկանա դատողությունը։ Լավ բացատրությունն օգնում է նրան դա անել, բայց չի վերացնում թեորեմը սովորելու անհրաժեշտությունը։
Մի մեջբերում կա, որի մասին հաճախ եմ մտածում, և որն արտահայտում է այս տարբերությունը. «կարող ես մտածելդ ուրիշին պատվիրակել, բայց հասկանալդ՝ ոչ»։ [6] ԱԲ-ն կարող է կատարել դատողության որոշ մասեր և բացատրել իր արածը, բայց պատասխանը հասանելի լինելը չի նշանակում, որ մենք այն հասկանում ենք։ Նույնը ճիշտ է նաև այն դեպքում, երբ պատասխանը ստանում ենք մեկ այլ մարդուց։ Մենք դեռ պետք է ինքներս հետևենք դատողությանը, հարցեր տանք դրա վերաբերյալ և կապեր ստեղծենք։
«Կարող ես մտածելդ ուրիշին պատվիրակել, բայց հասկանալդ՝ ոչ»։ [6]
Մտահոգությունն այն մասին, թե ինչպես է աջակցություն ստանալու մաթեմատիկական հետազոտությունը, ուշադրության է արժանի։ Հայտարարությունն ինքն էլ ընդունում է, որ ԱԲ-ն կարող է խորացնել մաթեմատիկական ըմբռնումը։ [2] Եթե ընկերությունները կենտրոնանան արդյունքներ հայտարարելու վրա և դրանց բացատրությունը թողնեն արդեն իսկ գերծանրաբեռնված ակադեմիական հանրությանը, օգտակար աշխատանքը կարող է անտեսվել։ Ուսանողներին նույնպես անհրաժեշտ են սեփական դատողությունը զարգացնելու հնարավորություններ։ Համալսարանները, կրթական կազմակերպությունները և ԱԲ ընկերությունները պետք է ավելի մեծ ուշադրություն դարձնեն բացատրությանն ու ուսուցմանը և մշակեն գործիքներ, որոնք կաջակցեն երկուսին էլ։
Ես ԱԲ-ն համարում եմ մաթեմատիկան ուսումնասիրելու ևս մեկ գործիք։ Այն կարող է բացահայտել զարմանալի արդյունքներ և անտեսված կապեր՝ միաժամանակ հնարավորություններ ստեղծելով ըմբռնումը խորացնելու և մաթեմատիկայի ուսուցումը բարելավելու համար։ Սրանք առանցքային են մաթեմատիկայի համար, և ԱԲ-ն մեզ դրանց ձգտելու ավելի շատ ուղիներ է տալիս։
Աղբյուրներ
[1] OpenAI — Նավիե–Ստոքսի Հազարամյակի խնդրի մասին։
[2] Math and AI — ԱԲ-ի նպատակների լուրջ անհամապատասխանությունը մաթեմատիկայում։
[4] Թեորեմների ապացուցումը Lean 4-ում — Ներածություն։
[6] Անդրեյ Կարպատի — Գրառում, որը մեջբերումը վերագրում է @yacineMTB-ին։
[7] Աբելի մրցանակ — Էնդրյու Ուայլս. 2016 թվականի մրցանակի հիմնավորումը։
[8] Անդրեյ Կարպատի — «Գրադիենտային իջեցումը կարող է քեզնից լավ կոդ գրել»։